As equações do primeiro grau são fundamentais no estudo da matemática, sendo essenciais para a resolução de problemas algébricos do dia a dia. Este tipo de equação estabelece uma relação de igualdade entre termos conhecidos (constantes) e desconhecidos (incógnitas). Vamos explorar os conceitos principais, métodos de resolução e alguns exemplos práticos.
Definição de Equação do Primeiro Grau
Uma equação de primeiro grau é uma sentença matemática que pode ser expressa na forma:
\[ ax + b = 0 \]
onde:
- \(a\) e \(b\) são números reais, com \(a \neq 0\),
- \(x\) é a incógnita, ou seja, o valor desconhecido a ser determinado.
A incógnita é geralmente representada por uma letra, sendo as mais comuns \(x\), \(y\) e \(z\). A característica principal das equações do primeiro grau é que o expoente da incógnita é sempre igual a 1, o que as distingue de equações de graus superiores.
Exemplo de Equações do Primeiro Grau
Alguns exemplos de equações de primeiro grau são:
- \[ 2x = 4 \]
- \[ 9x + 3y = 2 \]
- \[ 5 = 20a + b \]
Em contrapartida, equações como \[ 3x^2 + 5x – 3 = 0 \] ou \[ x^3 + 5y = 9 \] não são equações do primeiro grau, pois os expoentes das incógnitas são maiores que 1.
Estrutura da Equação
As equações do primeiro grau possuem dois membros:
- 1º membro: o lado esquerdo da igualdade,
- 2º membro: o lado direito da igualdade.
O objetivo ao resolver uma equação de primeiro grau é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Para isso, é necessário isolar a incógnita em um dos membros da equação.
Resolução de Equações de Primeiro Grau
Para resolver uma equação de primeiro grau, devemos seguir alguns passos simples:
- Isolar a incógnita: Reorganizar a equação de modo que a incógnita fique em um dos lados da igualdade.
- Inverter operações: Quando um termo é movido de um lado para o outro da equação, a operação associada a esse termo deve ser invertida:
- Se o termo está somando, passará subtraindo,
- Se está multiplicando, passará dividindo, e vice-versa.
Exemplo de Resolução:
Dada a equação \[ 8x – 3 = 5 \], qual o valor de \(x\) que torna a igualdade verdadeira?
Solução:
- Isolamos o termo com a incógnita: \[ 8x = 5 + 3 \] \[ 8x = 8 \]
- Dividimos ambos os lados por 8 para encontrar o valor de \(x\): \[ x = \frac{8}{8} = 1 \]
Assim, o valor da incógnita \(x\) é 1.
Regra para Incógnitas Negativas
Quando a incógnita aparece de forma negativa em uma equação, devemos multiplicar ambos os membros por \(-1\) para facilitar a resolução. Veja o exemplo:
\[ -9x = -90 \]
Multiplicando ambos os lados por \(-1\):
\[ 9x = 90 \]
Agora, dividimos por 9:
\[ x = \frac{90}{9} = 10 \]
Exemplos Práticos
Exemplo 1:
Problema: Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em um certo momento, Natália tinha o triplo da idade de Ana. Qual era a idade de ambas?
Solução:
Se a idade de Ana é representada por \(x\), a idade de Natália será \(x + 8\).
A relação é dada pela equação: \[ 3x = x + 8 \]
Resolvendo:
- \[ 3x – x = 8 \]
- \[ 2x = 8 \]
- \[ x = \frac{8}{2} = 4 \]
Portanto, Ana tinha 4 anos e Natália 12 anos (8 anos a mais).
Exemplo 2:
Resolva as equações a seguir:
- \[ x – 3 = 9 \] \[ x = 9 + 3 = 12 \]
- \[ 4x – 9 = 1 – 2x \] \[ 4x + 2x = 1 + 9 \] \[ 6x = 10 \] \[ x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]
- \[ x + 5 = 20 – 4x \] \[ x + 4x = 20 – 5 \] \[ 5x = 15 \] \[ x = \frac{15}{5} = 3 \]
Operações com Equações do Primeiro Grau
Além da resolução básica, podemos realizar outras operações com equações de primeiro grau, como soma, subtração, multiplicação e divisão. Vamos ver exemplos:
Adição de Equações
Quando somamos duas equações do primeiro grau, somamos os coeficientes dos termos com incógnitas iguais.
Exemplo:
\[ (2x + 3) + (4x – 5) = 6x – 2 \]
Subtração de Equações
Para subtrair uma equação da outra, invertemos os sinais dos termos da equação subtraída e somamos os termos semelhantes.
Exemplo:
\[ (5x – 4) – (3x + 2) = 5x – 3x – 4 – 2 = 2x – 6 \]
Multiplicação de Equações
Multiplicar equações de primeiro grau é multiplicar cada termo da primeira equação por cada termo da segunda.
Exemplo:
\[ (2x + 3) \cdot (x – 1) = 2x^2 – 2x + 3x – 3 = 2x^2 + x – 3 \]
Exercícios para Prática
Resolva a equação:
\[ 2x + 5 = 15 – x \]
Solução:
- \[ 2x + x = 15 – 5 \]
- \[ 3x = 10 \]
- \[ x = \frac{10}{3} \]
Maria tem 5 anos a mais que seu irmão Pedro. Se somarmos suas idades, o total será 27. Qual a idade de Pedro?
Solução:
Se \(x\) for a idade de Pedro, a idade de Maria é \(x + 5\). A equação será:
\[ x + (x + 5) = 27 \]
- \[ 2x + 5 = 27 \]
- \[ 2x = 27 – 5 = 22 \]
- \[ x = \frac{22}{2} = 11 \]
Portanto, Pedro tem 11 anos e Maria 16.
As equações de primeiro grau são fundamentais para resolver problemas algébricos em diversas áreas. Sua simplicidade no formato e metodologia permite o desenvolvimento de habilidades lógicas e matemáticas. Ao dominar esse tipo de equação, conseguimos avançar em tópicos mais complexos e entender com mais profundidade as relações numéricas e algébricas do cotidiano.
