As expressões algébricas fazem parte fundamental da matemática e são amplamente utilizadas em diversos ramos do conhecimento, desde cálculos simples até a resolução de problemas complexos em física, engenharia e ciências econômicas. Estas expressões consistem em uma combinação de números, variáveis (representadas por letras) e operações matemáticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

O que são Expressões Algébricas?

Uma expressão algébrica é uma expressão matemática composta por termos que podem incluir números e variáveis. As variáveis são representadas por letras (como x, y, z), e indicam valores desconhecidos ou que podem variar. Quando esses termos estão combinados com operações matemáticas, temos uma expressão algébrica. As operações que podem aparecer em uma expressão são:

• Adição (+)
• Subtração (-)
• Multiplicação (implícita ou indicada por “*”)
• Divisão (/)

Os números que multiplicam as variáveis são chamados coeficientes. Em qualquer expressão algébrica, a operação entre um número e uma variável é sempre de multiplicação, mesmo quando não explicitamente indicada.

Exemplos de Expressões Algébricas

\[ x + 5 \]

\[ 2a – 4b + 3 \]

\[ b^2 – 4ac \]

Cada um desses exemplos contém variáveis, coeficientes e números isolados, que juntos formam as expressões algébricas.

Cálculo de uma Expressão Algébrica

O valor de uma expressão algébrica depende dos valores atribuídos às variáveis. Para encontrar esse valor, basta substituir as variáveis pelos seus respectivos valores e realizar as operações indicadas.

Exemplo:

Suponha que o perímetro de um retângulo seja dado pela fórmula:

\[ P = 2b + 2h \]

Onde b é a base e h é a altura. Para calcular o perímetro de um retângulo com b = 5 e h = 3, basta substituir os valores:

\[ P = 2(5) + 2(3) = 10 + 6 = 16 \]

Nesse caso, o perímetro do retângulo seria 16 unidades.

Simplificação de Expressões Algébricas

Simplificar uma expressão algébrica significa reescrevê-la de maneira mais compacta, somando ou subtraindo termos semelhantes. Os termos semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal, ou seja, as mesmas variáveis com os mesmos expoentes.

Exemplo:

\[ 3xy + 7xy^4 – 6x^3y + 2xy – 10xy^4 \]

A simplificação desse exemplo envolve somar os coeficientes dos termos que têm a mesma parte literal:

\[ (3xy + 2xy) + (7xy^4 – 10xy^4) – 6x^3y = 5xy – 3xy^4 – 6x^3y \]

O resultado da simplificação é: \[ 5xy – 3xy^4 – 6x^3y \]

Fatoração de Expressões Algébricas

A fatoração é o processo de escrever uma expressão como um produto de termos mais simples. Esse método permite uma manipulação mais eficiente de expressões algébricas, sendo útil, por exemplo, para simplificar cálculos ou resolver equações.

Tipos de Fatoração:

• Fator comum em evidência: \[ ax + bx = x \cdot (a + b) \]
• Agrupamento: \[ ax + bx + ay + by = (a + b) \cdot (x + y) \]
• Trinômio quadrado perfeito (soma): \[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
• Diferença de dois quadrados: \[ a^2 – b^2 = (a + b) \cdot (a – b) \]

Exemplo de Fatoração:

Fatorando a expressão \[ 3x^2y + 6xy \], identificamos o fator comum \( 3xy \):

\[ 3x^2y + 6xy = 3xy \cdot (x + 2) \]

Monômios e Polinômios

Um monômio é uma expressão algébrica que apresenta apenas a multiplicação entre coeficientes e variáveis, enquanto um polinômio é formado pela soma ou subtração de dois ou mais monômios não semelhantes.

Exemplos de Monômios:

\[ 4x, \quad 3a^2b^3 \]

Exemplos de Polinômios:

\[ 3x^2 + 4xy – 5, \quad a^3 + 2ab + b^2 \]

Monômios semelhantes são aqueles que possuem as mesmas variáveis e expoentes. Por exemplo, \( 5xy \) e \( 12xy \) são monômios semelhantes.

Operações Algébricas

As operações algébricas incluem soma, subtração, multiplicação e divisão, e são realizadas utilizando regras que envolvem termos semelhantes e propriedades da potenciação.

Soma e Subtração de Expressões Algébricas

Para somar ou subtrair expressões algébricas, devemos operar apenas sobre os termos semelhantes.

Exemplo de soma:

\[ (2x^2 + 3xy) + (5x^2 – 4xy) = (2 + 5)x^2 + (3 – 4)xy = 7x^2 – xy \]

Multiplicação de Expressões Algébricas

Na multiplicação, cada termo de uma expressão é multiplicado por todos os termos da outra expressão. Para a parte literal, usamos a propriedade da potenciação, somando os expoentes das variáveis iguais.

Exemplo:

Multiplicando \( (x + 2) \) por \( (x – 3) \):

\[ (x + 2)(x – 3) = x^2 – 3x + 2x – 6 = x^2 – x – 6 \]

Divisão de Polinômio por Monômio

A divisão de um polinômio por um monômio envolve dividir os coeficientes e aplicar a regra da potenciação para as variáveis.

Exemplo:

Dividindo \( 6x^3 + 12x^2 \) por \( 3x \):

\[ \frac{6x^3 + 12x^2}{3x} = 2x^2 + 4x \]

As expressões algébricas são ferramentas essenciais em diversas áreas da matemática e ciências. Elas facilitam a modelagem de situações reais e a resolução de problemas complexos. A capacidade de manipular essas expressões por meio de simplificações, fatorações e operações algébricas é uma habilidade indispensável para estudantes e profissionais das ciências exatas. Portanto, compreender a estrutura, propriedades e operações das expressões algébricas é fundamental para o progresso em matemática e suas aplicações.