Equação de Torricelli: Fórmula, Dedução e Aplicações Práticas

A equação de Torricelli é uma fórmula amplamente utilizada em cinemática, uma das áreas da física que estuda os movimentos. Ela é especialmente útil quando lidamos com movimentos uniformemente variados, ou seja, quando a aceleração de um corpo é constante. Essa equação possibilita determinar a velocidade final de um corpo sem a necessidade de conhecer o tempo, o que a torna uma ferramenta poderosa em várias situações práticas e teóricas.

Fórmula da Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é expressa pela fórmula:

$$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta s$$

Onde:

• $v$ é a velocidade final (em metros por segundo, m/s);
• $v_0$ é a velocidade inicial (em metros por segundo, m/s);
• $a$ é a aceleração do corpo (em metros por segundo ao quadrado, m/s²);
• $\Delta s$ é a variação do espaço percorrido (em metros, m).

Essa equação é derivada das fórmulas do movimento uniformemente variado e relaciona diretamente a velocidade final de um objeto com a distância percorrida e a aceleração, sem precisar de uma variável temporal.

Dedução da Equação

A dedução da equação de Torricelli parte de duas equações básicas do movimento uniformemente variado (MUV):

A equação da velocidade em função do tempo:

$$v = v_0 + a \cdot t$$

A equação da posição em função do tempo:

$$s = s_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

Para deduzir a equação de Torricelli, isolamos o tempo ($t$) na primeira equação e substituímos na segunda. Isso elimina o tempo como uma variável, resultando na fórmula da equação de Torricelli. O grande diferencial dessa equação é justamente a sua independência do tempo.

Aplicações da Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é especialmente útil quando não se tem a informação do tempo e deseja-se calcular a velocidade final de um corpo. Um dos exemplos mais comuns de aplicação é o cálculo da velocidade de um objeto em queda livre, onde a aceleração é constante e igual à aceleração da gravidade.

Exemplo 1: Cálculo da Velocidade em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Suponha que um carro, partindo do repouso, acelere a uma taxa constante de 2 m/s² e percorra uma distância de 50 metros. Podemos usar a equação de Torricelli para determinar a velocidade final do carro ao fim dessa distância.

Dados:

• $v_0 = 0 \, \text{m/s}$ (o carro parte do repouso);
• $a = 2 \, \text{m/s}^2$ (aceleração constante);
• $\Delta s = 50 \, \text{m}$ (distância percorrida).

Substituindo na equação:

$$v^2 = 0^2 + 2 \cdot 2 \cdot 50$$ $$v^2 = 200$$ $$v = \sqrt{200} \approx 14.14 \, \text{m/s}$$

Portanto, a velocidade final do carro ao percorrer 50 metros é de aproximadamente 14,14 m/s.

Exemplo 2: Queda Livre

Outro exemplo muito comum é o da queda livre de um corpo. Suponha que um objeto seja solto de uma altura de 20 metros e queremos saber com que velocidade ele atinge o solo. Sabendo que a aceleração da gravidade ($g$) é de 9,8 m/s² e que a velocidade inicial é zero (pois o objeto é solto do repouso), podemos aplicar a equação de Torricelli.

Dados:

• $v_0 = 0 \, \text{m/s}$;
• $a = 9.8 \, \text{m/s}^2$;
• $\Delta s = 20 \, \text{m}$.

Substituindo na equação:

$$v^2 = 0^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 20$$ $$v^2 = 392$$ $$v = \sqrt{392} \approx 19.8 \, \text{m/s}$$

Assim, o objeto atinge o solo com uma velocidade de aproximadamente 19,8 m/s.

Quem Foi Torricelli?

A equação leva o nome do físico e matemático Evangelista Torricelli (1608-1647), um dos grandes estudiosos da física do movimento. Torricelli foi discípulo de Galileu Galilei e é também conhecido por ter inventado o barômetro, um instrumento usado para medir a pressão atmosférica. Sua contribuição para a ciência inclui importantes avanços nas áreas da óptica, hidrodinâmica e cinemática.

Torricelli nasceu em Faenza, na Itália, e desde jovem mostrou uma grande aptidão para as ciências. Ao longo de sua carreira, ele também foi professor e desenvolveu uma vasta produção científica. A equação que leva seu nome continua sendo uma das mais importantes na física, sendo ensinada em escolas e utilizada em diversas aplicações práticas e experimentos.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

(Uneb-BA) Uma partícula, inicialmente a 2 m/s, é acelerada uniformemente e, após percorrer 8 metros, alcança a velocidade de 6 m/s. Nessas condições, qual é a aceleração da partícula?

Dados:

• $v_0 = 2 \, \text{m/s}$;
• $v = 6 \, \text{m/s}$;
• $\Delta s = 8 \, \text{m}$.

Aplicando na fórmula:

$$6^2 = 2^2 + 2 \cdot a \cdot 8$$ $$36 = 4 + 16 \cdot a$$ $$36 – 4 = 16 \cdot a$$ $$a = \frac{32}{16} = 2 \, \text{m/s}^2$$

Portanto, a aceleração da partícula é de $2 \, \text{m/s}^2$.

Exercício 2

(UEPI) Um corpo é abandonado de uma altura de 20 metros em um local onde a aceleração da gravidade é $g = 10 \, \text{m/s}^2$. Desprezando o atrito, com que velocidade o corpo atinge o solo?

Dados:

• $v_0 = 0 \, \text{m/s}$;
• $a = 10 \, \text{m/s}^2$;
• $\Delta s = 20 \, \text{m}$.

Aplicando na equação de Torricelli:

$$v^2 = 0^2 + 2 \cdot 10 \cdot 20$$ $$v^2 = 400$$ $$v = \sqrt{400} = 20 \, \text{m/s}$$

Portanto, o corpo toca o solo com uma velocidade de 20 m/s.

A equação de Torricelli é uma ferramenta fundamental na cinemática, permitindo calcular a velocidade final de um corpo sem a necessidade de conhecer o tempo, o que a torna especialmente útil em diversas situações. Seu uso se estende a aplicações práticas em áreas como a engenharia, o estudo de quedas livres e até em simulações computacionais de movimentos físicos. Com exemplos e exercícios práticos, fica evidente sua importância no ensino da física e na compreensão dos movimentos uniformemente variados.