A resolução de inequações é uma habilidade fundamental na matemática, usada para expressar desigualdades entre quantidades. Compreender como resolver inequações do 1.º e 2.º graus é crucial para lidar com diversos problemas matemáticos e aplicá-los em situações reais. Neste artigo, exploraremos os conceitos e técnicas necessários para resolver inequações, incluindo exemplos práticos e exercícios.
O que são Inequações?
Uma inequação é uma sentença matemática que envolve uma desigualdade entre expressões algébricas. Os símbolos usados para representar desigualdades são:
>(maior que)<(menor que)≥(maior ou igual a)≤(menor ou igual a)
Por exemplo:
- \( 3x – 5 > 62 \)
- \( 10 + 2x \leq 20 \)
Inequações do 1.º Grau
Uma inequação do 1.º grau é aquela em que a variável tem o maior expoente igual a 1. Geralmente, essas inequações têm a forma:
- \( ax + b > 0 \)
- \( ax + b < 0 \)
- \( ax + b \geq 0 \)
- \( ax + b \leq 0 \)
onde \( a \) e \( b \) são números reais e \( a \neq 0 \).
Resolução de Inequações do 1.º Grau
Para resolver inequações do 1.º grau, seguimos um processo semelhante ao das equações, com a ressalva de que, ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, precisamos inverter o sinal da desigualdade.
Exemplo 1
Resolva a inequação \( 3x + 19 < 40 \).
- Subtraia 19 de ambos os lados:
\( 3x + 19 – 19 < 40 - 19 \)
\( 3x < 21 \) - Divida ambos os lados por 3:
\( x < \frac{21}{3} \)
\( x < 7 \)
A solução é \( x < 7 \).
Exemplo 2
Resolva a inequação \( 15 – 7x \geq 2x – 30 \).
- Junte todos os termos com \( x \) de um lado:
\( 15 – 7x – 2x \geq -30 \)
\( 15 – 9x \geq -30 \) - Subtraia 15 de ambos os lados:
\( -9x \geq -30 – 15 \)
\( -9x \geq -45 \) - Divida ambos os lados por -9 (e inverta o sinal da desigualdade):
\( x \leq \frac{45}{9} \)
\( x \leq 5 \)
A solução é \( x \leq 5 \).
Resolução Gráfica de Inequações do 1.º Grau
Outra forma de resolver inequações é graficamente. Para isso, seguimos estes passos:
- Coloque todos os termos de um lado da desigualdade:
\( 3x – 21 < 0 \) - Resolva a equação associada \( 3x – 21 = 0 \):
\( x = \frac{21}{3} \)
\( x = 7 \) - No plano cartesiano, represente a reta \( y = 3x – 21 \) e identifique os valores de \( x \) que tornam a desigualdade verdadeira.
No exemplo dado, a solução é \( x < 7 \), que corresponde à região à esquerda da reta no gráfico.
Inequações do 2.º Grau
As inequações do 2.º grau têm a forma:
- \( ax^2 + bx + c > 0 \)
- \( ax^2 + bx + c < 0 \)
- \( ax^2 + bx + c \geq 0 \)
- \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)
onde \( a \), \( b \), e \( c \) são números reais e \( a \neq 0 \). O gráfico de uma inequação do 2.º grau é uma parábola.
Resolução de Inequações do 2.º Grau
Para resolver inequações do 2.º grau, seguimos os seguintes passos:
- Encontrar as raízes da equação quadrática associada: Utilizamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\( \Delta = b^2 – 4ac \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) - Determinar o sinal da parábola: Com base no valor de \( a \), sabemos se a parábola abre para cima (se \( a > 0 \)) ou para baixo (se \( a < 0 \)).
- Identificar os intervalos que satisfazem a inequação: Analisamos os intervalos definidos pelas raízes para encontrar onde a parábola é positiva ou negativa, conforme necessário.
Exemplo 1
Resolva a inequação \( x^2 – x – 6 < 0 \).
- Encontre as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
\( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) \)
\( \Delta = 1 + 24 \)
\( \Delta = 25 \) - As raízes são:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \)
\( x = \frac{1 \pm 5}{2} \)
\( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
\( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)
A parábola abre para cima (coeficiente \( a > 0 \)), e a inequação \( x^2 – x – 6 < 0 \) é satisfeita para valores entre as raízes: \( -2 < x < 3 \).
Exercícios Práticos
Para consolidar o conhecimento, resolva os seguintes exercícios:
Questão 1
Por recomendação médica, uma pessoa deve consumir no mínimo 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D diariamente. Cada litro de iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Considere \( x \) litros de iogurte e \( y \) pacotes de cereais. Qual a condição que garante o cumprimento da dieta?
Resposta: \( x + 3y \geq 7 \) e \( 20x + 15y \geq 60 \).
Questão 2
Uma cidade é servida por duas empresas de telefonia. A empresa X cobra R$35,00 de assinatura mensal e R$0,50 por minuto. A empresa Y cobra R$26,00 de assinatura e R$0,65 por minuto. Após quantos minutos o plano da empresa X se torna mais vantajoso?
Resposta: Calcule o ponto de equilíbrio resolvendo a inequação \( 35 + 0,50m < 26 + 0,65m \), onde \( m \) é o número de minutos.
A compreensão e prática das inequações são essenciais para a resolução de problemas matemáticos e para a aplicação desses conceitos em diversas situações do cotidiano. Continue praticando e explorando diferentes tipos de inequações para aprimorar suas habilidades matemáticas.
