Polinômios: Definição, Operações e Fatoração

Os polinômios são uma das principais bases da álgebra e desempenham um papel crucial no estudo das equações, funções e outros conceitos matemáticos. Eles são expressões algébricas compostas por números (coeficientes) e letras (partes literais), onde as letras representam valores desconhecidos. A sua compreensão é fundamental para o desenvolvimento de habilidades matemáticas mais avançadas.

Neste artigo, vamos explorar o que são os polinômios, como eles são classificados, as operações que podemos realizar com eles e as técnicas de fatoração.

O que são Polinômios?

Um polinômio é uma expressão formada por um ou mais termos, e a única operação entre as letras de cada termo é a multiplicação. Por exemplo, em $3ab+5$, temos dois termos separados pela operação de soma, onde $3ab$ é um termo e $5$ é outro. As letras $a$ e $b$ são chamadas de partes literais, enquanto o número $3$ é o coeficiente.

Tipos de Polinômios

Os polinômios podem ser classificados com base no número de termos que possuem:

• Monômio: Um polinômio com apenas um termo. Exemplo: $3x$, $5abc$, $x^2{y}^3{z}^4$.
• Binômio: Um polinômio com dois termos, separados por uma operação de soma ou subtração. Exemplo: $a^2–b^2$, $3x+y$, $5ab+3c{d}^2$.
• Trinômio: Um polinômio com três termos. Exemplo: $x^2+3x+7$, $3ab–4xy–10y$, $m^{3}n+m^2+n^4$.

Grau dos Polinômios

O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente da parte literal em cada termo. Para encontrar o grau, somamos os expoentes de todas as letras de cada termo e identificamos a maior soma.

Exemplo:

• a) $2x^3+y$
  Aqui, o expoente do primeiro termo é $3$ e do segundo é $1$. O maior valor é $3$, então o grau do polinômio é $3$.
• b) $4x^{2}y+8x^3{y}^3–x{y}^4$
  No primeiro termo $4x^{2}y$, os expoentes somam $2+1=3$. No segundo termo $8x^3{y}^3$, a soma dos expoentes é $3+3=6$. No terceiro termo $x{y}^4$, os expoentes somam $1+4=5$. Assim, o grau do polinômio é $6$, que é a maior soma.

Operações com Polinômios

Agora que entendemos como os polinômios são formados, podemos realizar operações matemáticas básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição de Polinômios

Na adição de polinômios, somamos os coeficientes dos termos que têm a mesma parte literal.

Exemplo:

$$(-7x^3+5x^{2}y–xy+4y)+(-2x^{2}y+8xy–7y)=-7x^3+(5x^{2}y–2x^{2}y)+(-xy+8xy)+(4y–7y)$$ $$=-7x^3+3x^{2}y+7xy–3y$$

Subtração de Polinômios

Na subtração, invertemos o sinal dos termos do polinômio subtraído e depois somamos os termos semelhantes.

Exemplo:

$$(4x^2–5xk+6k)–(3xk–8k)=4x^2–5xk+6k–3xk+8k=4x^2–8xk+14k$$

Multiplicação de Polinômios

Para multiplicar polinômios, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo. Quando multiplicamos as partes literais, somamos os expoentes das letras iguais.

Exemplo:

$$(3x^2–5x+8)\cdot (-2x+1)=3x^2\cdot (-2x)+3x^2\cdot 1+(-5x)\cdot (-2x)+(-5x)\cdot 1+8\cdot (-2x)+8\cdot 1$$ $$=-6x^3+3x^2+10x^2–5x–16x+8=-6x^3+13x^2–21x+8$$

Divisão de Polinômios

A divisão de polinômios é um pouco mais complexa e geralmente é realizada utilizando o método da chave. Dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes de termos com a mesma base.

Fatoração de Polinômios

A fatoração de polinômios é uma técnica usada para reescrever um polinômio como o produto de dois ou mais fatores. Esta técnica é fundamental para resolver equações polinomiais. Vamos ver alguns métodos de fatoração:

Fator Comum em Evidência

Neste método, identificamos o fator comum entre os termos do polinômio e o colocamos em evidência.

Exemplo:

$4x+20=4(x+5)$

Agrupamento

O agrupamento é usado quando os termos de um polinômio podem ser organizados em grupos que têm fatores comuns.

Exemplo:

$8ax+bx+8ay+by=x(8a+b)+y(8a+b)=(8a+b)(x+y)$

Trinômio Quadrado Perfeito

Esse método é aplicado em trinômios que podem ser expressos como o quadrado de uma soma ou de uma diferença.

Exemplo (Adição):

$x^2+6x+9=(x+3{)}^2$

Exemplo (Diferença):

$x^2–2x+1=(x–1{)}^2$

Diferença de Dois Quadrados

Esse método é aplicado quando temos a diferença entre dois quadrados perfeitos.

Exemplo:

$x^2–25=(x+5)(x–5)$

Cubo Perfeito

Esse método é usado para fatorar polinômios que são cubos perfeitos, tanto para a soma quanto para a diferença.

Exemplo (Adição):

$x^3+6x^2+12x+8=(x+2{)}^3$

Exemplo (Diferença):

$y^3–9y^2+27y–27=(y–3{)}^3$

Polinômios são expressões fundamentais em álgebra, e o seu estudo é essencial para a compreensão de equações e funções. Saber classificar, operar e fatorar polinômios é crucial para o desenvolvimento de habilidades matemáticas mais avançadas. Ao dominar essas operações e técnicas, ganhamos ferramentas poderosas para resolver problemas matemáticos e aplicá-los em diversas áreas, como a física, a engenharia e a economia.