Regra de Cramer: O que é, Como Calcular e Exemplos

A Regra de Cramer é um método matemático muito útil para resolver sistemas de equações lineares, principalmente aqueles com um número igual de equações e incógnitas. Criada pelo matemático suíço Gabriel Cramer no século XVIII, esta técnica baseia-se no cálculo de determinantes de matrizes, sendo uma ferramenta essencial na álgebra linear.

Neste artigo, exploraremos o conceito da Regra de Cramer, a sua aplicação em sistemas de equações lineares, bem como exemplos práticos para facilitar a sua compreensão.

O Que é a Regra de Cramer?

A Regra de Cramer é uma fórmula que permite resolver sistemas de equações lineares através do uso de determinantes. Para utilizá-la, o sistema deve ter o mesmo número de equações e incógnitas, e o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Caso contrário, o sistema será classificado como indeterminado ou impossível, conforme explicaremos a seguir.

Se o determinante for diferente de zero, o sistema é determinado, ou seja, possui uma solução única. No entanto, se o determinante for zero, podemos ter dois cenários:

1. O sistema é indeterminado, com infinitas soluções, quando os determinantes de todas as matrizes derivadas também são zero.
2. O sistema é impossível, quando o determinante da matriz principal é zero, mas algum dos determinantes derivados não é zero.

Como Funciona a Regra de Cramer?

Para aplicar a Regra de Cramer, é necessário utilizar determinantes. Um sistema de equações lineares pode ser expresso como uma matriz de coeficientes (representando os coeficientes das incógnitas) e um vetor de termos independentes (resultados das equações). A seguir, apresentamos os principais passos para resolver sistemas 2×2 e 3×3 com este método.

Exemplo de Sistema 2×2

Vamos considerar um sistema com duas equações e duas incógnitas:

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}x+a_{12}y& =b_1\\ a_{21}x+a_{22}y& =b_2\end{array}$$

Matriz dos coeficientes: Crie a matriz dos coeficientes das incógnitas $x$ e $y$:

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$$

Determinante da matriz: Calcule o determinante da matriz $A$:

$$D=a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}$$

Determinante de $Dx$: Substitua a coluna dos coeficientes de $x$ pelos termos independentes $b_1$ e $b_2$, e calcule o determinante dessa nova matriz:

$$Dx=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|=b_1{a}_{22}–a_{12}{b}_2$$

Determinante de $Dy$: Substitua a coluna dos coeficientes de $y$ pelos termos independentes $b_1$ e $b_2$, e calcule o determinante:

$$Dy=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=a_{11}{b}_2–b_1{a}_{21}$$

Cálculo das incógnitas: Finalmente, calcule os valores de $x$ e $y$ usando as seguintes fórmulas:

$$x=\frac{Dx}{D},y=\frac{Dy}{D}$$

Se $D$ for diferente de zero, temos uma solução única.

Exemplo Prático de Sistema 2×2

Considere o seguinte sistema de equações:

$$\begin{array}{rl}2x+3y& =5\\ 4x–y& =1\end{array}$$

A matriz dos coeficientes é:

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -1\end{array}\right)$$

O determinante da matriz é:

$$D=2(-1)–3(4)=-2–12=-14$$

O determinante de $Dx$ é:

$$Dx=\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ 1& -1\end{array}\right|=5(-1)–3(1)=-5–3=-8$$

O determinante de $Dy$ é:

$$Dy=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& 1\end{array}\right|=2(1)–5(4)=2–20=-18$$

Portanto, as soluções são:

$$x=\frac{-8}{-14}=\frac{4}{7},y=\frac{-18}{-14}=\frac{9}{7}$$

Sistema 3×3 e a Regra de Sarrus

A Regra de Cramer também se aplica a sistemas de três equações com três incógnitas. Para resolver este tipo de sistema, utilizamos a Regra de Sarrus para calcular o determinante de uma matriz 3×3. Veja os passos a seguir.

Exemplo de Sistema 3×3

Vamos considerar o sistema:

$$\begin{array}{rl}x+2y+3z& =4\\ 2x–y+z& =1\\ 3x+y–2z& =2\end{array}$$

Matriz dos coeficientes:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& -2\end{array}\right)$$

Determinante da matriz (usando Regra de Sarrus):

$$D=1(-1)(-2)+2(1)(3)+3(2)(1)–[3(-1)(3)+1(1)(1)+2(2)(-2)]$$

Calculando, obtemos:

$$D=2+6+6–[-9+1–8]=14–(-16)=14+16=30$$

Calculamos os determinantes $Dx$, $Dy$ e $Dz$ substituindo as colunas correspondentes pelos termos independentes e, por fim, aplicamos as fórmulas:

$$x=\frac{Dx}{D},y=\frac{Dy}{D},z=\frac{Dz}{D}$$

A Regra de Cramer é uma técnica eficiente para resolver sistemas de equações lineares, desde que o número de equações seja igual ao número de incógnitas e o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. O método permite encontrar as soluções de forma sistemática, substituindo colunas da matriz por termos independentes e calculando os determinantes resultantes.

Embora não seja a técnica mais prática para sistemas maiores, a Regra de Cramer é fundamental para a compreensão de álgebra linear e matrizes. Além disso, o seu estudo contribui para o desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas em áreas como física, engenharia e economia.