Os múltiplos são uma das bases fundamentais da aritmética, presentes em diversos aspectos da matemática e da vida cotidiana. Eles fazem parte dos conceitos mais explorados nas séries iniciais do ensino, servindo como alicerce para tópicos mais avançados, como divisores, fatoração e o estudo de números primos. Neste artigo, abordaremos de forma detalhada o conceito de múltiplos, suas propriedades e algumas de suas aplicações mais comuns.
O que são múltiplos?
Em termos simples, os múltiplos de um número são os resultados obtidos ao multiplicá-lo por outros números inteiros. O conjunto de múltiplos de um número é, portanto, uma sequência infinita de valores que partem do número zero e crescem de forma proporcional ao fator pelo qual se está multiplicando.
Exemplo:
- O conjunto dos múltiplos de 2 é: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}.
- Isso significa que qualquer número resultante da multiplicação de 2 por um número inteiro será um múltiplo de 2.
Outra característica dos múltiplos é que o número zero sempre está presente em qualquer conjunto de múltiplos, pois qualquer número multiplicado por zero é igual a zero. Além disso, como o conjunto dos números inteiros é infinito, os múltiplos de qualquer número também formam um conjunto infinito.
Como identificar múltiplos?
Para saber se um número é múltiplo de outro, o método mais simples é verificar se a divisão entre esses dois números resulta em um quociente exato, ou seja, sem resto. Se a divisão é exata, o número em questão é múltiplo do outro.
Exemplo 1:
- Verificar se 216 é múltiplo de 6.
- Dividindo 216 por 6, temos: 216 ÷ 6 = 36.
- Como a divisão é exata, 216 é múltiplo de 6.
Exemplo 2:
- Verificar se 805 é múltiplo de 23.
- Dividindo 805 por 23, temos: 805 ÷ 23 = 35.
- Como a divisão é exata, 805 é múltiplo de 23.
Exemplo 3:
- Verificar se 45 é múltiplo de 6.
- Dividindo 45 por 6, temos: 45 ÷ 6 = 7,5.
- Como a divisão não é exata, 45 não é múltiplo de 6.
A partir disso, pode-se concluir que todo múltiplo de um número é também divisível por ele. Essa relação entre múltiplos e divisores é muito importante, pois permite o estudo mais aprofundado de conceitos como o mínimo múltiplo comum (MMC) e o máximo divisor comum (MDC).
Propriedades dos múltiplos
Algumas propriedades dos múltiplos merecem destaque:
- O zero é múltiplo de todos os números: como já mencionado, qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. Logo, o zero é múltiplo de todos os números inteiros.
- Conjunto infinito: os múltiplos de qualquer número inteiro formam um conjunto infinito, pois não há limite para as multiplicações que podem ser feitas.
- Sequência ordenada: os múltiplos de um número seguem uma sequência regular, em que a diferença entre dois múltiplos consecutivos é sempre o valor do número original. Por exemplo, no conjunto de múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, …}, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre 3.
Listas de múltiplos
Abaixo estão os conjuntos de múltiplos de alguns números importantes:
- Múltiplos de 2: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
- Múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …}
- Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …}
- Múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, …}
- Múltiplos de 6: {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …}
- Múltiplos de 7: {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, …}
- Múltiplos de 8: {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
- Múltiplos de 9: {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, …}
- Múltiplos de 10: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, …}
- Múltiplos de 11: {0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, …}
Estes são apenas os primeiros múltiplos de cada número. Como já mencionado, o conjunto de múltiplos é infinito e segue um padrão definido pela multiplicação.
Aplicações práticas dos múltiplos
Os múltiplos têm uma vasta gama de aplicações práticas, tanto no cotidiano quanto em áreas mais complexas da matemática. Alguns exemplos incluem:
- Resolução de problemas envolvendo o MMC: o cálculo do mínimo múltiplo comum é utilizado para encontrar o menor múltiplo comum entre dois ou mais números, sendo uma ferramenta importante para a resolução de equações com frações ou problemas de organização de eventos que ocorrem em ciclos.
- Cálculos financeiros: no planejamento financeiro, os múltiplos podem ser usados para calcular a periodicidade de pagamentos ou de receitas em intervalos regulares. Por exemplo, se um pagamento é feito a cada 5 dias, os dias de pagamento seriam múltiplos de 5.
- Divisão de objetos ou quantidades: ao dividir quantidades em partes iguais, os múltiplos desempenham um papel crucial. Por exemplo, para distribuir igualmente 30 doces entre 5 crianças, é necessário entender que 30 é múltiplo de 5, o que permite uma distribuição exata de 6 doces para cada uma.
Exercícios sobre múltiplos
Agora que já entendemos o conceito e as aplicações dos múltiplos, é hora de praticar. Abaixo estão alguns exercícios simples que podem ajudar a fixar o conteúdo.
Exercício 1:
Determine se 2.491 é múltiplo de 57.
Exercício 2:
Escreva os múltiplos de 8 entre 177 e 235.
Exercício 3:
Dentre os seguintes números, quais são múltiplos de 3: 487, 964, 1.395, 1.602, 2.103, 12.231?
Esses exercícios permitem que você treine a identificação de múltiplos e aplique o conceito em problemas práticos.
Os múltiplos são um dos pilares da matemática básica, essenciais para o desenvolvimento de habilidades em cálculo e resolução de problemas. Eles desempenham um papel importante em diversos contextos, desde situações simples do cotidiano até questões matemáticas mais avançadas. Compreender o conceito de múltiplos e sua aplicação pode facilitar o aprendizado de tópicos mais complexos, como divisores, frações e fatoração.
