Os números racionais são um conceito fundamental na matemática, amplamente utilizado no dia a dia, seja em operações básicas como somas e subtrações, seja em cálculos mais complexos que envolvem frações e decimais. Neste artigo, vamos explorar detalhadamente o que são números racionais, suas propriedades, exemplos e exercícios práticos.

O que são Números Racionais?

Os números racionais são todos aqueles que podem ser expressos como uma fração, ou seja, como o quociente entre dois números inteiros, onde o denominador (o número que está embaixo da fração) é diferente de zero. O conjunto dos números racionais é representado pela letra “Q”, que vem do inglês quotient, que significa quociente.

A definição formal dos números racionais é a seguinte:

\( \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} \)

Isso significa que qualquer número que possa ser escrito na forma \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são números inteiros e \( b \) não é zero, é um número racional. Exemplos clássicos de números racionais incluem \( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{4} \), \( \frac{-5}{8} \) e até números inteiros como \( 7 \), que pode ser escrito como \( \frac{7}{1} \).

Representação Decimal dos Números Racionais

Além da forma de fração, os números racionais podem ser representados na forma decimal. Existem dois tipos de representações decimais para os números racionais:

• Decimais Finitos: Quando a divisão entre o numerador e o denominador resulta em um número decimal com um número finito de casas decimais. Por exemplo:

  \( \frac{1}{4} = 0,25 \) \( \frac{3}{5} = 0,6 \)

• Decimais Infinitos Periódicos: Quando a divisão resulta em um número decimal que se repete infinitamente de forma periódica. Um exemplo clássico é:

  \( \frac{1}{3} = 0,3333\ldots \) Aqui, o “3” se repete infinitamente. Outro exemplo é \( \frac{7}{6} = 1,1666\ldots \), onde o “6” se repete infinitamente após a vírgula.

Subconjuntos dos Números Racionais

Dentro do conjunto dos números racionais, podemos identificar alguns subconjuntos que se destacam pela sua natureza específica:

• Racionais Não Nulos: Este subconjunto é composto pelos números racionais sem o zero. É representado por \( \mathbb{Q}^* \), onde:

  \( \mathbb{Q}^* = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x \neq 0 \right\} \)

• Racionais Não Negativos: Subconjunto que inclui os números racionais positivos e o zero. É representado por \( \mathbb{Q}^+ \), onde:

  \( \mathbb{Q}^+ = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0 \right\} \)

• Racionais Não Positivos: Subconjunto formado pelos números racionais negativos e o zero. É representado por \( \mathbb{Q}^- \), onde:

  \( \mathbb{Q}^- = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x \leq 0 \right\} \)

• Racionais Positivos: Conjunto dos números racionais estritamente positivos, sem o zero. É representado por \( \mathbb{Q}_0^+ \), onde:

  \( \mathbb{Q}_0^+ = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \right\} \)

• Racionais Negativos: Conjunto dos números racionais estritamente negativos, sem o zero. É representado por \( \mathbb{Q}_0^- \), onde:

  \( \mathbb{Q}_0^- = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x < 0 \right\} \)

Relação com Outros Conjuntos Numéricos

Os números racionais fazem parte de um sistema maior de conjuntos numéricos. Eles englobam os números inteiros \( \mathbb{Z} \) e, consequentemente, os números naturais \( \mathbb{N} \). Isso significa que todo número inteiro e todo número natural também é um número racional.

Números Naturais: \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \} \)

Números Inteiros: \( \mathbb{Z} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \)

Assim, temos a seguinte relação entre esses conjuntos: \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \)

Exemplos de Números Racionais

Números Inteiros: Todo número inteiro é, por definição, um número racional, pois pode ser representado como uma fração com denominador igual a 1. Exemplos:

\( 5 = \frac{5}{1} \) \( -3 = \frac{-3}{1} \)

Números Decimais Finitos: Como mencionado anteriormente, qualquer número decimal com um número finito de casas decimais pode ser convertido em uma fração. Exemplos:

\( 0,25 = \frac{1}{4} \) \( 0,75 = \frac{3}{4} \)

Dízimas Periódicas: Números decimais com um padrão repetitivo, como \( 0,3333\ldots \) ou \( 1,6666\ldots \), são racionais, pois podem ser expressos como frações:

\( 0,3333\ldots = \frac{1}{3} \) \( 1,6666\ldots = \frac{5}{3} \)

Exercícios Resolvidos sobre Números Racionais

Vamos resolver algumas questões para fixar o entendimento sobre os números racionais.

Questão 1

Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F):

• a) \( 0,212121\ldots \) é um número racional.
• b) \( \frac{5}{3} \) não é um número racional.
• c) \( -1 \) é um número racional.
• d) O oposto de \( \frac{13}{5} \) é \( \frac{-13}{5} \).
• e) \( 1,41421356\ldots \) é um número racional.

Respostas:

• a) Verdadeiro. \( 0,212121\ldots \) é uma dízima periódica, logo é um número racional.
• b) Falso. \( \frac{5}{3} \) é um número racional, pois está na forma de fração.
• c) Verdadeiro. \( -1 \) é um inteiro, portanto é um número racional.
• d) Verdadeiro. O oposto de \( \frac{13}{5} \) é \( \frac{-13}{5} \).
• e) Falso. \( 1,41421356\ldots \) é uma representação aproximada de \( \sqrt{2} \), que é um número irracional.

Questão 2

Represente as frações em números decimais:

• a) \( \frac{375}{200} \)
• b) \( \frac{30}{11} \)
• c) \( \frac{3}{5} \)
• d) \( \frac{4}{3} \)
• e) \( \frac{-7}{50} \)

Respostas:

• a) \( 1,875 \)
• b) \( 2,7272\ldots \)
• c) \( 0,6 \)
• d) \( 1,3333\ldots \)
• e) \( -0,14 \)

Os números racionais são uma parte essencial do universo numérico. Eles englobam números que podem ser representados como frações, sejam eles inteiros, decimais finitos ou dízimas periódicas. A compreensão de suas propriedades e subconjuntos é crucial para o entendimento de operações matemáticas básicas e avançadas.